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Mathematik für Chemiker
von: Ansgar Jüngel, Hans Gerhard Zachmann
Wiley-VCH, 2023
ISBN: 9783527835232
Sprache: Deutsch
766 Seiten, Download: 11718 KB
Format: Online-Lesen, PDF
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Cover | 1 | ||
Titelseite | 5 | ||
Impressum | 6 | ||
Inhaltsverzeichnis | 7 | ||
Autorenverzeichnis | 15 | ||
Vorwort zur achten Auflage | 17 | ||
1 Mathematische Grundlagen | 19 | ||
1.1 Die Sprache der Mathematik | 19 | ||
1.2 Mengenlehre | 21 | ||
1.3 Zahlen | 24 | ||
1.4 Einige Rechenregeln | 30 | ||
1.5 Kombinatorik | 33 | ||
2 Lineare Algebra | 41 | ||
2.1 Matrizen | 41 | ||
2.2 Lineare Gleichungssysteme und Gauß-Algorithmus | 49 | ||
2.3 Determinanten | 56 | ||
2.3.1 Definition | 56 | ||
2.3.2 Rechenregeln | 60 | ||
2.3.3 Berechnung von Determinanten | 63 | ||
2.4 Lineare Unabhängigkeit und Rang einer Matrix | 66 | ||
2.4.1 Lineare Unabhängigkeit | 66 | ||
2.4.2 Rang einer Matrix | 68 | ||
2.5 Lösungstheorie linearer Gleichungssysteme | 70 | ||
2.5.1 Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme | 70 | ||
2.5.2 Berechnung der Inversen einer Matrix | 75 | ||
3 Unendliche Zahlenfolgen und Reihen | 79 | ||
3.1 Unendliche Zahlenfolgen | 79 | ||
3.1.1 Definitionen und Beispiele | 79 | ||
3.1.2 Konvergenz einer Zahlenfolge | 81 | ||
3.1.3 Das Rechnen mit Grenzwerten | 83 | ||
3.2 Unendliche Reihen | 87 | ||
3.2.1 Definitionen und Beispiele | 87 | ||
3.2.2 Konvergenzkriterien | 90 | ||
3.2.3 Das Rechnen mit unendlichen Reihen | 93 | ||
3.2.4 Potenzreihen | 95 | ||
4 Funktionen | 99 | ||
4.1 Erläuterung des Funktionsbegriffes | 99 | ||
4.2 Funktionen einer Variablen | 100 | ||
4.2.1 Darstellung | 100 | ||
4.2.2 Umkehrung und implizite Darstellung einer Funktion | 102 | ||
4.2.3 Wichtige Begriffe zur Charakterisierung von Funktionen | 103 | ||
4.2.4 Einige spezielle Funktionen | 105 | ||
4.2.5 Stetigkeit | 116 | ||
4.2.6 Funktionenfolgen | 118 | ||
4.3 Funktionen mehrerer Variablen | 121 | ||
4.3.1 Darstellung | 121 | ||
4.3.2 Definitionsbereiche | 126 | ||
4.3.3 Stetigkeit | 127 | ||
5 Vektoralgebra | 131 | ||
5.1 Rechnen mit Vektoren | 131 | ||
5.1.1 Definition eines Vektors | 131 | ||
5.1.2 Rechenregeln für Vektoren | 134 | ||
5.1.3 Skalarprodukt | 137 | ||
5.1.4 Vektorprodukt | 139 | ||
5.1.5 Spatprodukt | 142 | ||
5.2 Darstellung von Vektoren in verschiedenen Basen | 145 | ||
5.2.1 Lineare Unabhängigkeit von Vektoren | 145 | ||
5.2.2 Basis im R3 und Basiswechsel | 149 | ||
5.2.3 Orthonormalbasis | 153 | ||
6 Analytische Geometrie | 157 | ||
6.1 Analytische Darstellung von Kurven und Flächen | 157 | ||
6.1.1 Darstellung durch Gleichungen in x, y und z | 157 | ||
6.1.2 Parameterdarstellung | 166 | ||
6.2 Lineare Abbildungen | 169 | ||
6.2.1 Definitionen | 169 | ||
6.2.2 Eigenwerte und Eigenvektoren | 171 | ||
6.2.3 Drehungen und Spiegelungen | 175 | ||
6.3 Koordinatentransformationen | 182 | ||
6.3.1 Lineare Transformationen | 182 | ||
6.3.2 Transformation auf krummlinige Koordinaten | 189 | ||
7 Differenziation und Integration einer Funktion einer Variablen | 195 | ||
7.1 Differenziation | 195 | ||
7.1.1 Die erste Ableitung einer Funktion | 195 | ||
7.1.2 Rechenregeln für das Differenzieren | 199 | ||
7.1.3 Differenziation einiger Funktionen | 203 | ||
7.1.4 Differenziation komplexwertiger Funktionen | 206 | ||
7.1.5 Höhere Ableitungen | 211 | ||
7.1.6 Mittelwertsatz der Differenzialrechnung | 212 | ||
7.1.7 Anwendungen | 213 | ||
7.2 Integration von Funktionen | 216 | ||
7.2.1 Das bestimmte Integral | 216 | ||
7.2.2 Das unbestimmte Integral | 222 | ||
7.2.3 Integrationsmethoden | 226 | ||
7.2.4 Uneigentliche Integrale | 235 | ||
7.2.5 Anwendungen | 239 | ||
7.3 Differenziation und Integration von Funktionenfolgen | 245 | ||
7.4 Die Taylor-Formel | 248 | ||
7.5 Unbestimmte Ausdrücke: Regel von de l'Hospital | 256 | ||
7.6 Kurvendiskussion | 262 | ||
7.6.1 Definitionen | 262 | ||
7.6.2 Bestimmung von Nullstellen | 263 | ||
7.6.3 Bestimmung von Extrema | 266 | ||
7.6.4 Bestimmung von Wendepunkten und Sattelpunkten | 268 | ||
8 Differenziation und Integration von Funktionen mehrerer Variablen | 271 | ||
8.1 Differenziation | 271 | ||
8.1.1 Die partielle Ableitung | 271 | ||
8.1.2 Höhere Ableitungen und der Satz von Schwarz | 275 | ||
8.1.3 Existenz einer Tangentialebene | 277 | ||
8.1.4 Das totale Differenzial | 279 | ||
8.1.5 Die Kettenregel | 281 | ||
8.1.6 Differenziation impliziter Funktionen | 284 | ||
8.1.7 Partielle Ableitungen in der Thermodynamik | 287 | ||
8.2 Einfache Integrale | 291 | ||
8.3 Bereichsintegrale | 295 | ||
8.3.1 Definition des zweidimensionalen Bereichsintegrals | 295 | ||
8.3.2 Berechnung des zweidimensionalen Bereichsintegrals | 297 | ||
8.3.3 Allgemeine Bereichsintegrale | 301 | ||
8.3.4 Transformationsformel | 302 | ||
8.3.5 Berechnung von Volumina und Oberflächen | 309 | ||
8.4 Kurvenintegrale | 318 | ||
8.4.1 Definition und Berechnung | 318 | ||
8.4.2 Wegunabhängigkeit des allgemeinen Kurvenintegrals | 323 | ||
8.4.3 Vollständiges und unvollständiges Differenzial | 326 | ||
8.4.4 Satz von Gauß im R2 | 329 | ||
8.5 Oberflächenintegrale | 332 | ||
8.6 Die Taylor-Formel | 335 | ||
8.7 Extremwerte | 339 | ||
8.7.1 Definitionen | 339 | ||
8.7.2 Bestimmung von Extremwerten und Sattelpunkten | 340 | ||
8.7.3 Bestimmung von Extremwerten unter Nebenbedingungen | 343 | ||
9 Vektoranalysis und Tensorrechnung | 351 | ||
9.1 Vektoranalysis | 351 | ||
9.1.1 Vektor- und Skalarfelder | 351 | ||
9.1.2 Der Gradient | 353 | ||
9.1.3 Konservative Vektorfelder | 356 | ||
9.1.4 Die Divergenz und der Satz von Gauß im R3 | 358 | ||
9.1.5 Die Rotation und der Satz von Stokes | 361 | ||
9.1.6 Rechenregeln | 365 | ||
9.1.7 Krummlinige Koordinaten | 366 | ||
9.2 Tensorrechnung | 372 | ||
9.2.1 Tensoren zweiter Stufe | 372 | ||
9.2.2 Tensoren höherer Stufe | 375 | ||
10 Fourier-Reihen und Fourier-Transformation | 379 | ||
10.1 Fourier-Reihen | 379 | ||
10.1.1 Reelle Fourier-Reihen | 379 | ||
10.1.2 Komplexe Fourier-Reihen | 385 | ||
10.1.3 Fourier-Reihe einer Funktion in mehreren Variablen | 388 | ||
10.2 Fourier-Transformation | 391 | ||
10.2.1 Definitionen | 391 | ||
10.2.2 Beispiele | 395 | ||
10.2.3 Eigenschaften | 399 | ||
10.2.4 Anwendungen in der Chemie | 410 | ||
10.3 Orthonormalsysteme | 417 | ||
11 Gewöhnliche Differenzialgleichungen | 423 | ||
11.1 Beispiele und Definitionen | 423 | ||
11.2 Differenzialgleichungen erster Ordnung | 430 | ||
11.2.1 Richtungsfeld, Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen | 430 | ||
11.2.2 Trennung der Variablen | 433 | ||
11.2.3 Lineare Differenzialgleichungen | 435 | ||
11.2.4 Systeme homogener linearer Differenzialgleichungen | 439 | ||
11.2.5 Systeme inhomogener linearer Differenzialgleichungen | 448 | ||
11.2.6 Exakte Differenzialgleichungen | 451 | ||
11.3 Lineare Differenzialgleichungen höherer Ordnung | 457 | ||
11.3.1 Allgemeines über die Existenz von Lösungen | 457 | ||
11.3.2 Die ungedämpfte freie Schwingung | 461 | ||
11.3.3 Die gedämpfte freie Schwingung | 466 | ||
11.3.4 Die erzwungene Schwingung | 469 | ||
11.3.5 Systeme von Differenzialgleichungen zweiter Ordnung | 472 | ||
11.4 Spezielle lineare Differenzialgleichungen zweiter Ordnung | 478 | ||
11.4.1 Potenzreihenansatz | 478 | ||
11.4.2 Die Legendre-Differenzialgleichung | 482 | ||
11.4.3 Die Laguerre-Differenzialgleichung | 488 | ||
11.4.4 Die Bessel-Differenzialgleichung | 491 | ||
12 Partielle Differenzialgleichungen | 497 | ||
12.1 Definition und Beispiele | 497 | ||
12.2 Die Potenzialgleichung | 501 | ||
12.2.1 Lösung durch Fourier-Transformation | 501 | ||
12.2.2 Lösung durch Fourier-Reihenansatz | 502 | ||
12.2.3 Lösung in Polarkoordinaten | 505 | ||
12.3 Die Wärmeleitungsgleichung | 507 | ||
12.3.1 Lösung durch Fourier-Transformation | 507 | ||
12.3.2 Lösung durch Separationsansatz | 509 | ||
12.4 Die Wellengleichung | 511 | ||
12.4.1 Lösung durch Separationsansatz | 511 | ||
12.4.2 Allgemeine Lösungsformel | 514 | ||
12.4.3 Die schwingende Membran | 516 | ||
12.5 Die Schrödinger-Gleichung | 521 | ||
12.5.1 Die stationäre Gleichung | 521 | ||
12.5.2 Der harmonische Oszillator | 522 | ||
12.5.3 Das Wasserstoffatom | 525 | ||
13 Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik | 537 | ||
13.1 Einführung | 537 | ||
13.1.1 Quantenmechanische Begriffe | 537 | ||
13.1.2 Axiomatik der Quantenmechanik | 541 | ||
13.2 Hilbert-Räume | 544 | ||
13.2.1 Sobolev-Räume | 544 | ||
13.2.2 Vollständige Orthonormalsysteme | 549 | ||
13.2.3 Lineare Operatoren | 553 | ||
13.2.4 Dualräume und Dirac-Notation | 554 | ||
13.3 Beschränkte lineare Operatoren | 559 | ||
13.3.1 Definition und Beispiele | 559 | ||
13.3.2 Projektoren | 562 | ||
13.3.3 Symmetrische Operatoren | 564 | ||
13.4 Unbeschränkte lineare Operatoren | 572 | ||
13.4.1 Selbstadjungierte Operatoren | 572 | ||
13.4.2 Die heisenbergsche Unschärferelation | 577 | ||
13.4.3 Spektraldarstellung selbstadjungierter Operatoren | 579 | ||
13.5 Zeitentwicklung quantenmechanischer Systeme | 588 | ||
14 Wahrscheinlichkeitsrechnung | 593 | ||
14.1 Einleitung | 593 | ||
14.1.1 Aufgaben der Wahrscheinlichkeitsrechnung | 593 | ||
14.1.2 Der Ereignisraum | 594 | ||
14.1.3 Zufallsgrößen | 596 | ||
14.2 Diskrete Zufallsgrößen | 598 | ||
14.2.1 Statistische Definition der Wahrscheinlichkeit | 598 | ||
14.2.2 Summe von Ereignissen | 599 | ||
14.2.3 Bedingte Wahrscheinlichkeit | 602 | ||
14.2.4 Produkt von Ereignissen | 604 | ||
14.2.5 Totale Wahrscheinlichkeit | 605 | ||
14.3 Kontinuierliche Zufallsgrößen | 608 | ||
14.3.1 Wahrscheinlichkeitsdichte | 608 | ||
14.3.2 Verteilungsfunktion | 610 | ||
14.4 Kette von unabhängigen Versuchen | 616 | ||
14.4.1 Herleitung der exakten Gleichungen | 616 | ||
14.4.2 Diskussion der Funktion Pn(m) | 618 | ||
14.4.3 Näherungsgesetze für große n | 620 | ||
14.4.4 Markowsche Ketten | 625 | ||
14.5 Stochastische Prozesse | 632 | ||
14.5.1 Definitionen | 632 | ||
14.5.2 Der Poisson-Prozess | 633 | ||
15 Fehler- und Ausgleichsrechnung | 637 | ||
15.1 Zufällige und systematische Fehler | 637 | ||
15.2 Mittelwert und Fehler der Einzelmessungen | 638 | ||
15.2.1 Verteilung der Messwerte und Mittelwert | 638 | ||
15.2.2 Mittlerer Fehler der Einzelmessungen | 639 | ||
15.2.3 Wahrscheinlicher Fehler der Einzelmessung | 641 | ||
15.2.4 Praktische Durchführung der Rechnungen | 642 | ||
15.3 Fehlerfortpflanzung | 644 | ||
15.3.1 Maximaler Fehler | 644 | ||
15.3.2 Fortpflanzung des mittleren Fehlers | 646 | ||
15.3.3 Mittlerer Fehler des Mittelwertes | 648 | ||
16 Numerische Methoden | 651 | ||
16.1 Lineare Gleichungssysteme | 651 | ||
16.1.1 Gauß-Algorithmus | 651 | ||
16.1.2 Thomas-Algorithmus | 655 | ||
16.1.3 Iterative Lösungsmethoden | 657 | ||
16.1.4 Ausgleichsrechnung | 660 | ||
16.2 Nichtlineare Gleichungen | 663 | ||
16.2.1 Newton-Verfahren im Eindimensionalen | 663 | ||
16.2.2 Newton-Verfahren im Mehrdimensionalen | 664 | ||
16.3 Eigenwertprobleme | 668 | ||
16.3.1 Potenzmethode | 668 | ||
16.3.2 QR-Verfahren | 670 | ||
16.4 Gewöhnliche Differenzialgleichungen | 673 | ||
16.4.1 Euler-Verfahren | 673 | ||
16.4.2 Runge-Kutta-Verfahren | 677 | ||
16.4.3 Steife Differenzialgleichungen | 679 | ||
16.5 Computational Chemistry | 682 | ||
16.5.1 Dichtefunktionaltheorie | 682 | ||
16.5.2 Maschinenlernen | 688 | ||
16.5.3 Softwarepakete | 695 | ||
Antworten und Lösungen | 697 | ||
Literatur | 747 | ||
Weiterführende Literatur | 749 | ||
Stichwortverzeichnis | 753 | ||
EULA | 766 |